Referenz

Balkenformeln

Auflagerkräfte, maximale Momente und maximale Durchbiegungen in geschlossener Form für die Standardfälle. Jeder Fall unten lässt sich interaktiv im Rechner laden.

Einfeldträger, mittige Einzellast P

Festlager A, Loslager B; P bei x = L/2

Auflagerkräfte
RA=RB=P2R_A = R_B = \frac{P}{2}
Biegemoment
Mmax=PL4 at x=L/2M_{max} = \frac{PL}{4}\ \text{at } x = L/2
Durchbiegung
δmax=PL348 EI\delta_{max} = \frac{PL^3}{48\,EI}

Einfeldträger, Einzellast P bei x = a

Festlager A, Loslager B; P im Abstand a von A (b = L − a)

Auflagerkräfte
RA=P bL,RB=P aLR_A = \frac{P\,b}{L}, \quad R_B = \frac{P\,a}{L}
Biegemoment
Mmax=PabL at x=aM_{max} = \frac{P a b}{L}\ \text{at } x = a
Durchbiegung
δmax=Pab (L2−a2−b2)3/293 EIL\delta_{max} = \frac{P a b \,(L^2 - a^2 - b^2)^{3/2}}{9\sqrt{3}\,EIL}

Einfeldträger, Gleichlast w (gesamte Stützweite)

Festlager A, Loslager B, Gleichlast w

Auflagerkräfte
RA=RB=wL2R_A = R_B = \frac{wL}{2}
Biegemoment
Mmax=wL28 at midspanM_{max} = \frac{wL^2}{8}\ \text{at midspan}
Durchbiegung
δmax=5 wL4384 EI\delta_{max} = \frac{5\,wL^4}{384\,EI}

Einfeldträger, aufgebrachtes Moment M₀ bei x = a

Konzentriertes Moment (Paar)

Auflagerkräfte
RA=−M0L,RB=+M0LR_A = -\frac{M_0}{L}, \quad R_B = +\frac{M_0}{L}
Biegemoment
M jumps by M0 at x=a\text{M jumps by } M_0 \text{ at } x = a
Durchbiegung
(piecewise linear, no closed form)\text{(piecewise linear, no closed form)}

Kragträger, Einzellast P am Ende

Eingespannt bei A; P am freien Ende

Auflagerkräfte
RA=P,MA=−P LR_A = P, \quad M_A = -P\,L
Biegemoment
∣M∣max=P L at fixed end|M|_{max} = P\,L\ \text{at fixed end}
Durchbiegung
δtip=PL33 EI\delta_{tip} = \frac{P L^3}{3\,EI}

Kragträger, Gleichlast w (gesamte Länge)

Eingespannt bei A, Gleichlast w

Auflagerkräfte
RA=wL,MA=−wL22R_A = wL, \quad M_A = -\frac{wL^2}{2}
Biegemoment
∣M∣max=wL22 at fixed end|M|_{max} = \frac{wL^2}{2}\ \text{at fixed end}
Durchbiegung
δtip=wL48 EI\delta_{tip} = \frac{wL^4}{8\,EI}

Kragträger, Dreieckslast (0 am Ende → w an der Einspannung)

Linear ansteigend zur Einspannung

Auflagerkräfte
RA=wL2,MA=−wL26R_A = \frac{wL}{2}, \quad M_A = -\frac{wL^2}{6}
Biegemoment
∣M∣max=wL26 at wall|M|_{max} = \frac{wL^2}{6}\ \text{at wall}
Durchbiegung
δtip=wL430 EI\delta_{tip} = \frac{wL^4}{30\,EI}

Gestützter Kragträger, Gleichlast w

Eingespannt bei A, Loslager bei B

Auflagerkräfte
RB=3 wL8,RA=5 wL8,MA=−wL28R_B = \frac{3\,wL}{8}, \quad R_A = \frac{5\,wL}{8}, \quad M_A = -\frac{wL^2}{8}
Biegemoment
M+=9 wL2128 at x=5L8M_+ = \frac{9\,wL^2}{128}\ \text{at } x = \tfrac{5L}{8}
Durchbiegung
δmax≈0.00541 wL4EI at x≈0.5785 L\delta_{max} \approx 0.00541\,\frac{wL^4}{EI}\ \text{at } x \approx 0.5785\,L

Beidseitig eingespannt, Gleichlast w

Beide Enden eingespannt

Auflagerkräfte
RA=RB=wL2,MA=MB=−wL212R_A = R_B = \frac{wL}{2}, \quad M_A = M_B = -\frac{wL^2}{12}
Biegemoment
M+=wL224 at midspanM_+ = \frac{wL^2}{24}\ \text{at midspan}
Durchbiegung
δmax=wL4384 EI\delta_{max} = \frac{wL^4}{384\,EI}

Beidseitig eingespannt, mittige Einzellast P

Beide Enden eingespannt; P bei L/2

Auflagerkräfte
RA=RB=P2,MA=MB=−P L8R_A = R_B = \frac{P}{2}, \quad M_A = M_B = -\frac{P\,L}{8}
Biegemoment
M+=P L8 at midspanM_+ = \frac{P\,L}{8}\ \text{at midspan}
Durchbiegung
δmax=P L3192 EI\delta_{max} = \frac{P\,L^3}{192\,EI}

Zwei gleiche Felder, Gleichlast w auf beiden

Festlager bei A, B, C; jedes Feld L

Auflagerkräfte
RA=RC=3 wL8,RB=10 wL8R_A = R_C = \frac{3\,wL}{8}, \quad R_B = \frac{10\,wL}{8}
Biegemoment
M−=wL28 over B;M+=9 wL2128M_- = \frac{wL^2}{8}\ \text{over B;} \quad M_+ = \frac{9\,wL^2}{128}
Durchbiegung
δ≈0.0052 wL4EI per span\delta \approx 0.0052\,\frac{wL^4}{EI}\ \text{per span}

Beidseitig überkragend (symmetrisch), Gleichlast w

Stützen im Abstand a von jedem Ende, Gesamtlänge L

Auflagerkräfte
RA=RB=wL2R_A = R_B = \frac{wL}{2}
Biegemoment
Msupports=−w a22M_{\text{supports}} = -\frac{w\,a^2}{2}
Durchbiegung
depends on a/L\text{depends on } a/L

Eine Formel live prüfen

Zu jeder geschlossenen Lösung oben gibt es einen passenden interaktiven Fall. Prüfen Sie die Zahlen selbst: Kragträger unter Gleichlast, Kragträger mit Endlast, Einfeldträger mit Gleichlast, beidseitig eingespannt mit Gleichlast oder den zweifeldrigen Durchlaufträger. Das vollständige Verzeichnis steht auf der Rechner-Seite.

P Einzellast · w Streckenlast pro Längeneinheit · L Stützweite · E Elastizitätsmodul · I Flächenträgheitsmoment. Feldmomente positiv; Durchbiegungen nach unten positiv aufgetragen.