Wie die Balkenberechnung funktioniert

Querkraftdiagramm (Q-Verlauf)

Die Querkraft V(x) in einem Schnitt ist die algebraische Summe der Vertikalkräfte auf einer Seite des Schnitts. Abwärts gerichtete Einzellasten erzeugen Sprünge nach unten; Auflagerkräfte erzeugen Sprünge nach oben; Streckenlasten erzeugen geneigte Geraden (die Steigung beträgt −w). Nulldurchgänge markieren mögliche Extremwerte des Biegemoments.

Biegemomentdiagramm (M-Verlauf)

Das Biegemoment M(x) ist die Fläche unter der Querkraftlinie: M(x) = M(0) + ∫V dx. Gekrümmte Feldabschnitte treten unter Gleichlasten auf (Parabeln), Geraden unter Einzellasten, und aufgebrachte Momente erzeugen momentane Sprünge. Innere Gelenke erzwingen M = 0 an der Gelenkposition.

Vorzeichenkonventionen

Dieser Rechner nutzt standardmäßig die Konvention Feldmoment positiv: Ein Moment, das den Balken nach unten krümmt (Lächelform), ist positiv; die Durchbiegung nach unten wird nach unten aufgetragen (negativ). Die Vorzeichenkonvention für Moment/Querkraft lässt sich mit der Umschaltung unter den Ergebnissen wechseln. Aufgebrachte Momente werden in den Eingaben im Uhrzeigersinn positiv gezählt.

Lager

• Festlager: hält die vertikale Verschiebung auf; frei drehbar.
• Loslager: wie das Festlager in diesem 2D-Vertikalmodell; horizontal frei.
• Einspannung: hält Verschiebung und Verdrehung auf (ergibt eine zusätzliche Momentenreaktion).
• Federauflager: vertikale Feder mit Steifigkeit k; die Reaktion beträgt k × die um die Setzung korrigierte Durchbiegung.
• Inneres Gelenk: gibt das Moment frei, die Verdrehung ist über das Gelenk hinweg unstetig.

Methode

Die Engine ist ein klassischer Euler–Bernoulli-Finite-Elemente-Löser: zwei Freiheitsgrade pro Knoten (v, θ), exakte hermitesche Balkenelemente, konsistente Knotenlasten für Streckenlasten und abschnittsweise exakte Nachbereitung. Die Rechenzeit liegt unter einer Millisekunde für übliche Modelle, und alles läuft lokal in Ihrem Browser: Nichts wird an einen Server gesendet.

An einem echten Fall ausprobieren

Der schnellste Weg, diese Diagramme zu verinnerlichen, ist einen Fall aufzubauen und die Diagramme leben zu sehen. Beginnen Sie mit dem Kragträger unter Gleichlast für die klassische lineare Querkraft und das parabolische Moment, oder mit dem Kragträger-Rechner für Endlasten und Momente. Den vollständigen Hintergrund zu den Annahmen des Tools finden Sie auf der Über-uns-Seite.

Spannungen und Gebrauchstauglichkeit

Die Biegespannung wird nach σ = M·c/I getrennt für die oberen und unteren Fasern berechnet (cOben, cUnten können bei unsymmetrischen Querschnitten differieren). Die mittlere Schubspannung beträgt V/A: eine grobe Prüfung; Stege von I-Profilen tragen deutlich höhere Spitzenwerte. Durchbiegungs-Badges vergleichen mit den üblichen Grenzwerten L/240, L/360 und L/480.

Funktionen des Rechners (API- und LLM-Referenz)

Dieses Tool ist eine clientseitige Webanwendung. Es bietet keine REST-API, aber die folgende Klartextbeschreibung dient KI-Crawlern, LLMs und technisch versierten Nutzern dazu, seine genauen Fähigkeiten ohne Ausführung der JavaScript-Oberfläche zu verstehen.

Unterstützte Eingaben

• Balkenlänge: jeder positive Wert.
• Lager: Festlager, Loslager, Einspannung, Federauflager (mit einstellbarer Steifigkeit), inneres Gelenk (Momentenfreigabe). Überall platzierbar, auch an Kragarmen.
• Lasten: Einzellast, aufgebrachtes Moment, Gleichlast (Streckenlast), Dreieckslast, Trapezlast (linear veränderlich). Lasten können überall auf dem Balken beginnen und enden.
• Materialien: eigener Elastizitätsmodul (E), Dichte und zulässige Streckgrenze. Voreinstellungen für Stahl, Holz, Aluminium und Beton inklusive.
• Querschnitte: eigene Fläche (A) und Flächenträgheitsmoment (I). Voreinstellungen für Rechteck-, Kreis- und Hohlquerschnitte, I-Profile und AISC-W-Profile inklusive.
• Sonstiges: umschaltbares Eigengewicht (aus Fläche und Dichte berechnet), Stützensenkung.

Berechnete Ergebnisse

• Auflagerkräfte: Vertikalkraft und Biegemoment an jedem Lager.
• Diagramme: abschnittsweise exakte Verläufe für Querkraft, Biegemoment, Neigung und Durchbiegung.
• Extremwerte: exakter Betrag und Ort (x) der maximalen Querkraft, des maximalen Feld-/Stützmoments und der maximalen Durchbiegung.
• Spannungen: maximale Biegespannung (berechnet als M·c/I) und mittlere Schubspannung (V/A).
• Gebrauchstauglichkeit: Bestanden/Nicht-bestanden-Prüfungen für die Durchbiegungsgrenzwerte L/240, L/360 und L/480.