Справочник

Формулы для балок

Реакции, максимальные моменты и максимальные прогибы в замкнутой форме для стандартных случаев расчёта балок. Каждый случай ниже можно загрузить интерактивно в калькулятор.

Шарнирно-опёртая, сосредоточенная сила P посередине

Шарнирная опора A, катковая B; P при x = L/2

Реакции
RA=RB=P2R_A = R_B = \frac{P}{2}
Изгибающий момент
Mmax=PL4 at x=L/2M_{max} = \frac{PL}{4}\ \text{at } x = L/2
Прогиб
δmax=PL348 EI\delta_{max} = \frac{PL^3}{48\,EI}

Шарнирно-опёртая, сила P при x = a

Шарнирная опора A, катковая B; P на расстоянии a от A (b = L − a)

Реакции
RA=P bL,RB=P aLR_A = \frac{P\,b}{L}, \quad R_B = \frac{P\,a}{L}
Изгибающий момент
Mmax=PabL at x=aM_{max} = \frac{P a b}{L}\ \text{at } x = a
Прогиб
δmax=Pab (L2−a2−b2)3/293 EIL\delta_{max} = \frac{P a b \,(L^2 - a^2 - b^2)^{3/2}}{9\sqrt{3}\,EIL}

Шарнирно-опёртая, равномерная нагрузка w (весь пролёт)

Шарнирная опора A, катковая B, равномерная нагрузка w

Реакции
RA=RB=wL2R_A = R_B = \frac{wL}{2}
Изгибающий момент
Mmax=wL28 at midspanM_{max} = \frac{wL^2}{8}\ \text{at midspan}
Прогиб
δmax=5 wL4384 EI\delta_{max} = \frac{5\,wL^4}{384\,EI}

Шарнирно-опёртая, приложенный момент M₀ при x = a

Сосредоточенная пара сил

Реакции
RA=−M0L,RB=+M0LR_A = -\frac{M_0}{L}, \quad R_B = +\frac{M_0}{L}
Изгибающий момент
M jumps by M0 at x=a\text{M jumps by } M_0 \text{ at } x = a
Прогиб
(piecewise linear, no closed form)\text{(piecewise linear, no closed form)}

Консоль, сила P на свободном конце

Заделка в A; P на свободном конце

Реакции
RA=P,MA=−P LR_A = P, \quad M_A = -P\,L
Изгибающий момент
∣M∣max=P L at fixed end|M|_{max} = P\,L\ \text{at fixed end}
Прогиб
δtip=PL33 EI\delta_{tip} = \frac{P L^3}{3\,EI}

Консоль, равномерная нагрузка w (по всей длине)

Заделка в A, равномерная нагрузка w

Реакции
RA=wL,MA=−wL22R_A = wL, \quad M_A = -\frac{wL^2}{2}
Изгибающий момент
∣M∣max=wL22 at fixed end|M|_{max} = \frac{wL^2}{2}\ \text{at fixed end}
Прогиб
δtip=wL48 EI\delta_{tip} = \frac{wL^4}{8\,EI}

Консоль, треугольная нагрузка (0 на конце → w у заделки)

Линейно растёт к заделке

Реакции
RA=wL2,MA=−wL26R_A = \frac{wL}{2}, \quad M_A = -\frac{wL^2}{6}
Изгибающий момент
∣M∣max=wL26 at wall|M|_{max} = \frac{wL^2}{6}\ \text{at wall}
Прогиб
δtip=wL430 EI\delta_{tip} = \frac{wL^4}{30\,EI}

Защемлённо-опёртая балка, равномерная нагрузка w

Заделка в A, катковая опора в B

Реакции
RB=3 wL8,RA=5 wL8,MA=−wL28R_B = \frac{3\,wL}{8}, \quad R_A = \frac{5\,wL}{8}, \quad M_A = -\frac{wL^2}{8}
Изгибающий момент
M+=9 wL2128 at x=5L8M_+ = \frac{9\,wL^2}{128}\ \text{at } x = \tfrac{5L}{8}
Прогиб
δmax≈0.00541 wL4EI at x≈0.5785 L\delta_{max} \approx 0.00541\,\frac{wL^4}{EI}\ \text{at } x \approx 0.5785\,L

Балка с двумя заделками, равномерная нагрузка w

Оба конца защемлены

Реакции
RA=RB=wL2,MA=MB=−wL212R_A = R_B = \frac{wL}{2}, \quad M_A = M_B = -\frac{wL^2}{12}
Изгибающий момент
M+=wL224 at midspanM_+ = \frac{wL^2}{24}\ \text{at midspan}
Прогиб
δmax=wL4384 EI\delta_{max} = \frac{wL^4}{384\,EI}

Балка с двумя заделками, сила P посередине

Оба конца защемлены; P при L/2

Реакции
RA=RB=P2,MA=MB=−P L8R_A = R_B = \frac{P}{2}, \quad M_A = M_B = -\frac{P\,L}{8}
Изгибающий момент
M+=P L8 at midspanM_+ = \frac{P\,L}{8}\ \text{at midspan}
Прогиб
δmax=P L3192 EI\delta_{max} = \frac{P\,L^3}{192\,EI}

Два равных пролёта, равномерная нагрузка w на обоих

Шарнирные опоры в A, B, C; каждый пролёт L

Реакции
RA=RC=3 wL8,RB=10 wL8R_A = R_C = \frac{3\,wL}{8}, \quad R_B = \frac{10\,wL}{8}
Изгибающий момент
M−=wL28 over B;M+=9 wL2128M_- = \frac{wL^2}{8}\ \text{over B;} \quad M_+ = \frac{9\,wL^2}{128}
Прогиб
δ≈0.0052 wL4EI per span\delta \approx 0.0052\,\frac{wL^4}{EI}\ \text{per span}

Балка с консолями (симметричная), равномерная нагрузка w

Опоры на расстоянии a от каждого конца, полная длина L

Реакции
RA=RB=wL2R_A = R_B = \frac{wL}{2}
Изгибающий момент
Msupports=−w a22M_{\text{supports}} = -\frac{w\,a^2}{2}
Прогиб
depends on a/L\text{depends on } a/L

Проверить формулу вживую

У каждого замкнутого решения выше есть соответствующий интерактивный случай. Проверьте числа сами: консоль под равномерной нагрузкой, консоль с силой на конце, шарнирно-опёртая балка с распределённой нагрузкой, балка с двумя заделками под равномерной нагрузкой или двухпролётная неразрезная балка. Полный каталог находится на странице калькуляторов.

P сосредоточенная сила · w распределённая нагрузка на единицу длины · L пролёт · E модуль Юнга · I момент инерции. Положительный момент растягивает нижние волокна; прогибы вниз откладываются положительно.